Affixe

Définition

Définition :
Étant donné un point $P(x,y)$ (resp. Un vecteur $\vec u(x,y)$), on appelle le nombre complexe $z:=x+iy$ l'affixe de $P$ (resp. De $\vec u$) et on note $P(z)$ (resp. $\vec u(z)$)
(Nombre complexe)

Notation

Souvent, on note $z_P$ ou $p$ l'affixe d'un point $P$
Souvent, on note $z_u$ ou $\mu$ l'affixe d'un vecteur $\vec u$

Propriétés

Affixe d'une somme

Proposition :
Soient $a,\mu,b$ les affixes respectifs de $A,\vec u,B$
Si $B=A+\vec u$, alors $b=a+\mu$

Affixe d'un barycentre

Proposition :
Soient $a_i$ les affixes respectifs des points $A_i$
Alors l'affixe de $\sum\lambda_iA_i$ est $\sum\lambda_ia_i$
(Barycentre)

Lien avec le produit scalaire

Proposition :
Soient $\mu,\nu$ les affixes respectifs de deux vecteurs $\vec u,\vec v$
Nous avons l'égalité : $${{\langle\vec u\mid\vec v\rangle}}={{\Re(\mu\bar\nu)}}={{\frac12(\mu\bar\nu+\bar\mu\nu)}}$$
(Produit scalaire, Nombre complexe conjugué)

Lien avec l'orthogonalté

Proposition :
Soient $\mu,\nu$ les affixes des deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$
Nous avons $${{\vec u\perp\vec v}}\iff{{\mu\bar\nu\in i{\Bbb R}}}\iff{{\frac\mu\nu\in i{\Bbb R}}}$$
(Nombre imaginaire - Imaginaire pur)

Affixe d'un projeté orthogonal

Proposition :
Soient $D_{O,\vec u}$ une droite et $\mu$ l'affixe du vecteur directeur $\vec u$
Soit la projection orthogonale $P:=P_D(A)$ sur $D$
Alors les affixes $\alpha$ et $\pi$ des vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OP}$ respectivement, vérifient $${{\pi}}={{\frac{\alpha\bar\mu+\bar\alpha\mu}{2\bar\mu} }}$$
(Projection orthogonale - Projeté orthogonal (géométrie))

Affixe d'un symétrique (axial)

Proposition :
Soient $D_{O,\vec u}$ une droite et $\mu$ l'affixe du vecteur directeur $\vec u$
Soit le point symétrique $S:=S_D(A)$ d'un point $A$ par rapport à $D$
Alors les affixes $\alpha$ et $\sigma$ des vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OS}$ respectivement, vérifient $${{\sigma\bar\mu}}={{\bar\alpha\mu}}$$
(Symétrie axiale - Réflexion)

Affixe d'une image par une homothétie

Proposition :
Soit $\mu$ l'affixe du vecteur $\vec u$
Alors l'affixe de son image $H_\lambda(\vec u)$ par l'homothétie vectorielle de rapport $\lambda$ est $\lambda\mu$
Proposition :
Soient $o,a,b$ les affixes respectifs des points $O,A,B$, où $B=H_{O,\lambda}(A)$ est l'image de $A$ par l'homothétie $H_{O,\lambda}$
Alors nous avons $${{b}}={{o+\lambda(a-o)}}$$
(Homothétie)

Affixe d'une image par rotation

Proposition :
Soit $\mu$ l'affixe du vecteur $\vec u$
Alors l'affixe de son image $R_\theta(\vec u)$ par la rotation vectorielle d'angle $\theta$ est $\mu e^{i\theta}$
(Rotation linéaire)
Proposition :
Soient $o,a,b$ les affixes respectifs des points $O,A,B$, où $B=R_{O,\theta}(A)$
Alors nous avons $${{b}}={{o+e^{i\theta}(a-o)}}$$
(Rotation affine)

Caractérisation de points alignés

Proposition :
$z_{\overrightarrow{OB} }=\xi z_{\overrightarrow{OA} }$ si et seulement si $B$ est l'image de $A$ par la similitude $H_{O,\rho}\circ R_{O,\theta}$, où $\rho=\lvert\xi\rvert$ est le module de $\xi$, et $\theta$ son argument, i.e. Si $\xi=\rho e^{i\theta}$
(Ecriture exponentielle d'un nombre complexe)
Proposition :
Pour trois points $A,B,C$ avec affixes $a,b,c$,
Les trois points sont alignés si et seulement si $$\frac{a-c}{b-c}\in{\Bbb R}$$
Proposition :
Pour trois points $A,B,C$ avec affixes $a,b,c$,
$C\in[AB]$ si et seulement si $$\frac{a-c}{b-c}\in{\Bbb R}_-$$

Angles orientés

Proposition :
Pour trois points $A,B,C$ avec affixes $a,b,c$, $${{\measuredangle ACB}}={{\arg\left(\frac{b-c}{a-c}\right)\pmod{2\pi} }}$$
(Angle (géométrie), Argument)

Droites

Toute droite réelle de ${\Bbb C}$ est définie par une équation complexe de la forme : $$\{z\in{\Bbb C}\mid\bar\beta z+\beta\bar z+\gamma=0\}$$

Droites parallèles

Deux droites complexes sont parallèles si et seulement si $$\frac{\beta_1}{\beta_2}\in{\Bbb R}^*$$

Rapport d'affixes

$${{\frac{a-b}{c-b} }}={{\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert CB\rvert}e^{i\widehat{ABC} } }}$$

tikz

\begindocument

\begintikzpicture[scale=2]

\draw (0,0) -- (2,0);

\draw (0,0) -- (2,1);

\draw (0,0) node[left] \(B\);

\draw (2,1) node[right] \(A\);

\draw (2,0) node[right] \(C\);

\endtikzpicture

\enddocument

Dans un carré

$${{o}}={{\frac{1+i}{2}a+\frac{1-i}{2}b}}$$

tikz

\begindocument

\begintikzpicture[scale=2]

\draw (0,0) rectangle (2,2);

\draw (0,0) -- (2,2);

\draw (2,0) -- (0,2);

\draw (1,1) node[above] \(O\);

\draw (0,0) node[left] \(B\);

\draw (0,2) node[left] \(A\);

\endtikzpicture

\enddocument

Exercices

Droites complexes

Figures géométriques

Démonstration de propriétés

Inversion

Théorème de Ptolémée

On se donne quatre points distincts $A,B,C,D$ du plan complexe d'affixes $a,b,c,d$ respectivement
Montrer que l'on a toujours $$\lvert AC\rvert\cdot\lvert BD\rvert\leqslant\lvert AB\rvert\cdot\lvert CD\rvert+\lvert AD\rvert\cdot\lvert BC\rvert$$ avec égalité si et seulement s'il existe un réel $\lambda\gt 0$ tel que $(b-a)(d-c)=\lambda(d-a)(c-b)$

Développer $\to$ inégalité triangulaire $\to$ ça se simplifie
On a $$\begin{align}\lvert AB\rvert\lvert CD\rvert+\lvert AD\rvert\lvert BC\rvert&=\lvert b-a\rvert\lvert d-c\rvert+\lvert d-a\rvert\lvert c-b\rvert\\ &=\lvert (b-a)(d-c)\rvert+\lvert(d-a)(c-b)\rvert\\ &=\lvert bd-ad-bc+ac\rvert+\lvert -bd+cd-ac+ab\rvert\\ &\geqslant\lvert\cancel{bd}-ad-bc\cancel{+ad}\cancel{-bd}+cd\cancel{-ac}+ab\rvert\\ &=\lvert ab-ad+cd-bc\rvert\\ &=\lvert (a-c)(b-d)\rvert\\ &=\lvert c-a\rvert\lvert b-d\rvert\\ &=\lvert AC\rvert\lvert BD\rvert\end{align}$$

Cas d'égalité

Il y a égalité si et seulement si le $\geqslant$ est un $=$
$$\iff\frac{(b-a)(d-c)}{(d-a)(c-b)}\in\,]0,+\infty[\iff(b-a)(d-c)=\lambda(d-a)(c-b)\quad(\exists\lambda\gt 0)$$

On se donne quatre points distincts $A,B,C,D$ du plan complexe d'affixes $a,b,c,d$ respectivement
On a toujours $$\lvert AC\rvert\cdot\lvert BD\rvert\leqslant\lvert AB\rvert\cdot\lvert CD\rvert+\lvert AD\rvert\cdot\lvert BC\rvert$$ avec égalité si et seulement s'il existe un réel $\lambda\gt 0$ tel que $(b-a)(d-c)=\lambda(d-a)(c-b)$
Déduire que si $ABCD$ est un quadrilatère convexe, alors le cas d'égalité est équivalent à $$\arg\left(\frac{b-a}{d-a}\right)=\arg\left(\frac{b-c}{d-c}\right)\pmod\pi$$

Implication avec les arguments
$$\begin{align} (b-a)(d-c)=\lambda(d-a)(c-b)&\iff\frac{b-a}{d-a}=-\lambda\frac{b-c}{d-c}&&(\exists\lambda\gt 0)\\ &\iff\arg\left(\frac{b-a}{d-a}\right)=\pi+\arg\left(\frac{b-c}{d-c}\right)\pod{2\pi}\\ &\implies\arg\left(\frac{b-a}{d-a}\right)=\arg\left(\frac{b-c}{d-c}\right)\pod\pi\end{align}$$

Réciproquement, on a deux cas possibles
Réciproquement, on a la réciproque ou $$\arg\left(\frac{b-a}{d-a}\right)\equiv\arg\left(\frac{b-c}{d-c}\right)\pod{2\pi}\tag1$$

Seul le cas intéressant est vrai par l'absurde

Mais $(1)$ implique le fait que $(ABCD)$ soit non-convexe, car $A,C$ sont dans le même demi-plan de bord $B,D$
Donc on a la réciproque

On se donne quatre points distincts $A,B,C,D$ du plan complexe d'affixes $a,b,c,d$ respectivement
On a toujours $$\lvert AC\rvert\cdot\lvert BD\rvert\leqslant\lvert AB\rvert\cdot\lvert CD\rvert+\lvert AD\rvert\cdot\lvert BC\rvert$$ avec égalité si et seulement s'il existe un réel $\lambda\gt 0$ tel que $(b-a)(d-c)=\lambda(d-a)(c-b)$
De plus, si $ABCD$ est un quadrilatère convexe, alors le cas d'égalité est équivalent à $$\arg\left(\frac{b-a}{d-a}\right)=\arg\left(\frac{b-c}{d-c}\right)\pmod\pi$$
Montrer le théorème de Ptolémée :
Un quadrilatère convexe est inscrit dans un cercle si et seulement si le produit des longueurs de ses diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés

Condition pour avoir $A,B,C,D$ cocycliques via arc capable
$$A,B,C,D\text{ cocycliques }\iff\arg\left(\frac{b-a}{d-a}\right)\equiv\arg\left(\frac{b-c}{d-c}\right)\pod\pi$$ par arc capable

Conclusion via question précédente

$$\iff\lvert AC\rvert\lvert BD\rvert=\lvert AB\rvert\lvert CD\rvert+\lvert BC\rvert\lvert DA\rvert$$ car $(ABCD)$ convexe + question précédente
Or, $AC,BD$ sont les diagonales et $AB,CD$ et $BC,DA$ sont les côtés opposés

(Arc capable)

Birapport

Soient quatre points du plan complexe avec affixes $a,b,c,d$ distincts deux à deux
On définit leur birapport comme étant la quantité : $$[a,b,c,d]=\frac{a-c}{b-c}\frac{b-d}{a-d}\in{\Bbb C}$$
Montrer que, si quatre points sont alignés, alors leur birapport est un nombre réel
Dans quel cas le birapport est-il positif ?

Caractérisation par les affixes de points alignés
Si les points sont alignés, alors $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ADB}$ sont nuls ou plats
Et donc $$\arg\left(\frac{a-c}{b-c}\right)\equiv\arg\left(\frac{b-d}{a-d}\right)\equiv0\pod\pi$$

Opération sur les arguments
Et donc $$\implies\arg\left(\frac{a-c}{b-c}\frac{b-d}{a-d}\right)\equiv0\pod\pi\implies[a,b,c,d]\in{\Bbb R}$$

Positif $\to$ $\mod2\pi$

Le birapport est positif si $$\begin{align}\arg\left(\frac{a-c}{b-c}\frac{b-d}{a-d}\right)\equiv0\pod{2\pi}&\iff\arg\left(\frac{a-c}{b-c}\right)\equiv\arg\left(\frac{b-d}{a-d}\right)\pod{2\pi}\\ &\iff c,d\in\,]a,b[\quad\text{ ou }\quad\{c,d\}\cap[a,b]=\varnothing\end{align}$$

Soient quatre points du plan complexe avec affixes $a,b,c,d$ distincts deux à deux
On définit leur birapport comme étant la quantité : $$[a,b,c,d]=\frac{a-c}{b-c}\frac{b-d}{a-d}\in{\Bbb C}$$
Montrer que le birapport est réel si et seulement si les quatre points sont alignés ou cocycliques

Caractérisation du birapport nul
$$\begin{align}[a,b,c,d]\in{\Bbb R}&\iff\arg\left(\frac{a-c}{b-c}\right)+\arg\left(\frac{b-d}{a-d}\right)\equiv0\pod\pi\\ &\iff\underbrace{\arg\left(\frac{a-c}{b-c}\right)}_u\equiv\underbrace{\arg\left(\frac{a-d}{b-d}\right)}_v\pod\pi\end{align}$$

Cas où on a déjà trois points alignés
$$\begin{align}(a,b,c)\text{ alignés }&\iff u=0\\ &\iff v=0\\ &\iff d\in(ab)\end{align}$$ donc $(a,b,c,d)$ alignés

Cas où on n'a pas trois points alignés $\to$ arc capable $\to$ alors ils sont cocycliques

$(a,b,c)$ non alignés $\iff$ sur un cercle $(\mathcal C)$
Comme $v=u$, on a par arc capable $d\in(\mathcal C)$
Donc $(a,b,c,d)$ sont cocycliques

(Arc capable)

Soient quatre points du plan complexe avec affixes $a,b,c,d$ distincts deux à deux
On définit leur birapport comme étant la quantité : $$[a,b,c,d]=\frac{a-c}{b-c}\frac{b-d}{a-d}\in{\Bbb C}$$
Montrer que si $4$ points d'affixe non nuls sont alignés, alors leur image par $1/\bar z$ sont alignées ou cocycliques

Développer comme un ours
On a : $$\begin{align}\left[\frac1{\bar a},\frac1{\bar b},\frac1{\bar c},\frac1{\bar d}\right]&=\frac{\frac1{\bar a}-\frac1{\bar c}}{\frac1{\bar b}-\frac1{\bar c}}\frac{\frac1{\bar b}-\frac1{\bar d}}{\frac1{\bar a}-\frac1{\bar d}}\\ &=\frac{\bar c-\bar a}{\bar c-\bar b}\frac{\bar d-\bar b}{\bar d-\bar a}\end{align}$$

On retrouve le conjugué du birapport $\to$ est également dans les réels $\to$ question précédente

$$=[\bar a,\bar b,\bar c,\bar d]=\overline{[a,b,c,d]}$$ donc $[a,b,c,d]\in{\Bbb R}\implies\left[\frac1{\bar a},\frac1{\bar b},\frac1{\bar c},\frac1{\bar d}\right]\in{\Bbb R}$
Donc les points sont cocycliques ou alignés d'après une question précédente

Exercices de DS

Soient $ABCD$ un quadrilatère convexe et $O$ un point intérieur tel que les triangles $\triangle AOB$ et $\triangle COD$ soient isocèle rectangles en $O$
On note $M$ le milieu de $[AD]$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $O$ dans le triangle $BOC$
Montrer que les points $M,O,H$ sont alignés et montrer que $2OM=BC$

Schéma

Traduction en repère complexe $\to$ triangles isocèles rectangles
On prend $O$ comme origine des affixes
$(AOB)$ isocèle rectangle en $O$ $\implies$ $$\begin{align}&AO=OB\\ &\widehat{AOB}=\frac\pi2\end{align}\implies b=ia$$ de même, $d=ic$

Traduire le milieu
De plus, $$m=\frac{a+d}2=\frac{a+ic}2$$

Traduire le projeté orthogonal
$$(OH)\perp(BC)\implies\overrightarrow{OH}\perp\overrightarrow{BC}\implies h=\lambda i(c-b)\implies h=\lambda (ic-a)$$

Mq les points sont alignés par produit avec le conjugué
$$m\bar h=\frac\lambda2(a+ic)(\bar a-i\bar c)=\frac\lambda2(\underbrace{a\bar a+c\bar c-ia\bar c+i\bar a c}_{\text{réel}})$$
Les points sont donc alignés

Égalité de longueurs en développant l'expression des modules

$$\begin{align} 2OM&=2\lvert m\rvert=\lvert a+ic\rvert\\ BC&=\lvert c-b\rvert=\lvert c-ia\rvert=\lvert -i(ic+a)\rvert=\lvert a+ic\rvert\end{align}$$

À l'extérieur d'un triangle $ABC$, on construit trois carrés de base les côté set de centres $P,Q,R$
Montrer que les segments $[AP]$ et $[QR]$ (resp. $[BQ]$ et $[RP]$, $[CR]$ et $[PQ]$) sont orthogonaux et de même longueur
En déduire que les droites $(AP)$, $(BQ)$ et $(CR)$ sont concourantes

Rapports avec les côtés des carrés
On a : $$\begin{align}\frac{p-c}{b-c}=\frac{\sqrt2}2e^{i\pi/4}=\frac{1+i}2&=\frac{q-a}{c-a}\\ &=\frac{r-b}{a-b}\end{align}$$

Isoler
Donc : $$\begin{align} p&=\frac{1+i}2(b-c)+c\\ &=\frac{1+i}2b+\frac{1-i}2c\\ q&=\frac{1+i}2c+\frac{1-i}2a\\ r&=\frac{1+i}2a+\frac{1-i}2b\end{align}$$

Calculer le rapport pour trouver $i$
$$\begin{align}\frac{p-a}{r-q}&=\frac{\frac{1+i}2b+\frac{1-i}2c-a}{ia+\frac{1-i}2b-\frac{1+i}2c}\\ &=\frac{i(ia+\frac{1-i}2b-\frac{1+i}2c)}{ia+\frac{1-i}2b-\frac{1+i}2c}\\ &=i\end{align}$$ donc $$\frac{AP}{QR}=\lvert i\rvert=1\quad\text{ et }\quad\widehat{((AP),(QR))}=\arg(i)=\frac\pi2$$ donc $AP=QR$ et $(AP)\perp (QR)$
De même avec les autres segments

Concourantes car hauteurs

$(AP),(BQ),(CR)$ sont les hauteurs de $(PQR)$, elles sont donc concourantes

Math'φsics

Formulaire de report