Définition :
Étant donné un point \(P(x,y)\) (resp. Un vecteur \(\vec u(x,y)\)), on appelle le nombre complexe \(z:=x+iy\) l'affixe de \(P\) (resp. De \(\vec u\)) et on note \(P(z)\) (resp. \(\vec u(z)\))
(Nombre complexe)
Notation
Souvent, on note \(z_P\) ou \(p\) l'affixe d'un point \(P\)
Souvent, on note \(z_u\) ou \(\mu\) l'affixe d'un vecteur \(\vec u\)
Propriétés
Affixe d'une somme
Proposition :
Soient \(a,\mu,b\) les affixes respectifs de \(A,\vec u,B\)
Si \(B=A+\vec u\), alors \(b=a+\mu\)
Affixe d'un barycentre
Proposition :
Soient \(a_i\) les affixes respectifs des points \(A_i\)
Alors l'affixe de \(\sum\lambda_iA_i\) est \(\sum\lambda_ia_i\)
(Barycentre)
Lien avec le produit scalaire
Proposition :
Soient \(\mu,\nu\) les affixes respectifs de deux vecteurs \(\vec u,\vec v\)
Nous avons l'égalité : $${{\langle\vec u\mid\vec v\rangle}}={{\Re(\mu\bar\nu)}}={{\frac12(\mu\bar\nu+\bar\mu\nu)}}$$
(Produit scalaire, Nombre complexe conjugué)
Lien avec l'orthogonalté
Proposition :
Soient \(\mu,\nu\) les affixes des deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\)
Nous avons $${{\vec u\perp\vec v}}\iff{{\mu\bar\nu\in i{\Bbb R}}}\iff{{\frac\mu\nu\in i{\Bbb R}}}$$
(Nombre imaginaire - Imaginaire pur)
Affixe d'un projeté orthogonal
Proposition :
Soient \(D_{O,\vec u}\) une droite et \(\mu\) l'affixe du vecteur directeur \(\vec u\)
Soit la projection orthogonale \(P:=P_D(A)\) sur \(D\)
Alors les affixes \(\alpha\) et \(\pi\) des vecteurs \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OP}\) respectivement, vérifient $${{\pi}}={{\frac{\alpha\bar\mu+\bar\alpha\mu}{2\bar\mu} }}$$
(Projection orthogonale - Projeté orthogonal)
Affixe d'un symétrique (axial)
Proposition :
Soient \(D_{O,\vec u}\) une droite et \(\mu\) l'affixe du vecteur directeur \(\vec u\)
Soit le point symétrique \(S:=S_D(A)\) d'un point \(A\) par rapport à \(D\)
Alors les affixes \(\alpha\) et \(\sigma\) des vecteurs \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OS}\) respectivement, vérifient $${{\sigma\bar\mu}}={{\bar\alpha\mu}}$$
(Symétrie axiale - Réflexion)
Affixe d'une image par une homothétie
Proposition :
Soit \(\mu\) l'affixe du vecteur \(\vec u\)
Alors l'affixe de son image \(H_\lambda(\vec u)\) par l'homothétie vectorielle de rapport \(\lambda\) est \(\lambda\mu\)
Proposition :
Soient \(o,a,b\) les affixes respectifs des points \(O,A,B\), où \(B=H_{O,\lambda}(A)\) est l'image de \(A\) par l'homothétie \(H_{O,\lambda}\)
Alors nous avons $${{b}}={{o+\lambda(a-o)}}$$
(Homothétie)
Affixe d'une image par rotation
Proposition :
Soit \(\mu\) l'affixe du vecteur \(\vec u\)
Alors l'affixe de son image \(R_\theta(\vec u)\) par la rotation vectorielle d'angle \(\theta\) est \(\mu e^{i\theta}\)
(Rotation linéaire)
Proposition :
Soient \(o,a,b\) les affixes respectifs des points \(O,A,B\), où \(B=R_{O,\theta}(A)\)
Alors nous avons $${{b}}={{o+e^{i\theta}(a-o)}}$$
(Rotation affine)
Caractérisation de points alignés
Proposition :
\(z_{\overrightarrow{OB} }=\xi z_{\overrightarrow{OA} }\) si et seulement si \(B\) est l'image de \(A\) par la similitude \(H_{O,\rho}\circ R_{O,\theta}\), où \(\rho=\lvert\xi\rvert\) est le module de \(\xi\), et \(\theta\) son argument, i.e. Si \(\xi=\rho e^{i\theta}\)
(Ecriture exponentielle d'un nombre complexe)
Proposition :
Pour trois points \(A,B,C\) avec affixes \(a,b,c\),
Les trois points sont alignés si et seulement si $$\frac{a-c}{b-c}\in{\Bbb R}$$
Proposition :
Pour trois points \(A,B,C\) avec affixes \(a,b,c\),
\(C\in[AB]\) si et seulement si $$\frac{a-c}{b-c}\in{\Bbb R}_-$$
Angles orientés
Proposition :
Pour trois points \(A,B,C\) avec affixes \(a,b,c\), $${{\measuredangle ACB}}={{\arg\left(\frac{b-c}{a-c}\right)\pmod{2\pi} }}$$
(Angle (géométrie), Argument)
Droites
Toute droite réelle de \({\Bbb C}\) est définie par une équation complexe de la forme : $$\{z\in{\Bbb C}\mid\bar\beta z+\beta\bar z+\gamma=0\}$$
Droites parallèles
Deux droites complexes sont parallèles si et seulement si $$\frac{\beta_1}{\beta_2}\in{\Bbb R}^*$$